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\large
\begin{document}
\pagestyle{fancy}
\fancyhead{}
\lhead{Chen JiaRui}
\chead{有限元方法 - Project}
\rhead{2021.06.25}

\title{有限元方法 Project 计算报告}
\author{陈嘉锐  3180101998}
\maketitle

\begin{spacing}{1.5}



\section{目标问题}
$$-\Delta u = 2 \sin x \sin y$$
$$\left. u\right|_b = \sin x \sin y, x \in [1, 2] \times [1, 2].$$

\section{P1 单元}
\begin{table}[H]
\centering
\caption{P1单元的L2误差与网格间距}
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
n   & h          & Error       \\ \hline
2   & 0.5        & 0.0405442   \\ \hline
4   & 0.25       & 0.0103157   \\ \hline
8   & 0.125      & 0.0025934   \\ \hline
16  & 0.0625     & 0.000649328 \\ \hline
32  & 0.03125    & 0.000162394 \\ \hline
64  & 0.015625   & 4.06025e-05 \\ \hline
128 & 7.81250e-3 & 1.01509e-05 \\ \hline
256 & 3.90625e-3 & 2.53774e-06 \\ \hline
512 & 1.95313e-3 & 6.34441e-07 \\ \hline
\end{tabular}
\end{table}

\begin{figure}[H]
\centering
	\includegraphics[scale=0.8]{../figures/P1Error.png}
	\caption{P1单元的收敛阶}
\end{figure}

从上面的数据中我们可以看到，当步长变为原来的 $\frac 1 2$ 时，误差变为原来的 $\frac 1 4$，可以知道收敛阶为 2，这与理论和图像都是吻合的。

\section{P2 单元}
\begin{table}[H]
\centering
\caption{P2单元的L2误差与网格间距}
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
n   & h         & Error       \\ \hline
2   & 0.5       & 6.17541e-4  \\ \hline
4   & 0.25      & 7.72237e-05 \\ \hline
8   & 0.125     & 9.62165e-06 \\ \hline
16  & 0.0625    & 1.20219e-06 \\ \hline
32  & 0.03125   & 1.50277e-07 \\ \hline
64  & 0.015625  & 1.87852e-08 \\ \hline
128 & 0.0078125 & 2.34817e-09 \\ \hline
256 & 0.0039063 & 2.90901e-10 \\ \hline
\end{tabular}
\end{table}

\begin{figure}[H]
\centering
	\includegraphics[scale=0.8]{../figures/P2Error.png}
	\caption{P2单元的收敛阶}
\end{figure}

从上面的数据中我们可以看到，当步长变为原来的 $\frac 1 2$ 时，误差变为原来的 $\frac 1 8$，可以知道收敛阶为 3，这与理论和图像都是吻合的。


\section{图像展示}
\begin{figure}[H]
\centering
	\includegraphics[scale=0.7]{../figures/P1Element_64.png}
	\caption{P1单元, n = 64}
	~\\
	\includegraphics[scale=0.7]{../figures/P2Element_64.png}
	\caption{P2单元, n = 64}
\end{figure}


\end{spacing}
\end{document}

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